Par quoi finit sept puissance six ?
(une version pdf mise en page est disponible là : Par_quoi_finit_sept_puissance_six.pdf)
Calculons pour voir.
Sept puissance 1
![](https://ifep.top/wp-content/uploads/MATHS_Puissance_html_6b01b8dc.gif)
Sept puissance 1 finit par 7.
Sept puissance 2
![](https://ifep.top/wp-content/uploads/MATHS_Puissance_html_m10859425.gif)
Sept puissance 2 finit par 9.
Sept puissance 3
![](https://ifep.top/wp-content/uploads/MATHS_Puissance_html_32e38555.gif)
Sept puissance 3 finit par 3.
Sept puissance 4
![](https://ifep.top/wp-content/uploads/MATHS_Puissance_html_m247384c3.gif)
Sept puissance 4 finit par 1.
Sept puissance 5
Sept puissance 5 finit par 7.
Sept puissance 5 finit comme sept puissance 1 qui finit par 7.
Sept puissance 6
![](https://ifep.top/wp-content/uploads/MATHS_Puissance_html_m55fdf3a9.gif)
Sept puissance 6 finit par 9.
Sept puissance 6 finit comme sept puissance 2 qui finit par 9.
Devinons par quoi se termine sept puissance 7.
Sept puissance 5 finit comme sept puissance 1.
Sept puissance 6 finit comme sept puissance 2.
Sept puissance 7 finit comme sept puissance … ? 3 ! Sept puissance 3 finit par 3.
Vérifions par le calcul.
Sept puissance 7
Sept puissance 7 finit par 3.
Sept puissance 7 finit comme sept puissance 3 qui finit par 3.
Devinons par quoi se termine sept puissance 8.
Sept puissance 5 finit comme sept puissance 1.
Sept puissance 6 finit comme sept puissance 2.
Sept puissance 7 finit comme sept puissance 3.
Sept puissance 8 finit comme sept puissance … ? 4 ! Sept puissance 4 finit par 1.
Vérifions par le calcul.
![](https://ifep.top/wp-content/uploads/MATHS_Puissance_html_m39f2be99-300x22.gif)
Sept puissance 8 finit par 1.
Sept puissance 8 finit comme sept puissance 4 qui finit par 1.
Faisons un point de ce que nous savons.
Sept puissance 5 finit comme sept puissance 1.
Sept puissance 6 finit comme sept puissance 2.
Sept puissance 7 finit comme sept puissance 3.
Sept puissance 8 finit comme sept puissance 4.
Si nous poursuivions, nous trouverions la chose suivante.
Sept puissance 9 finit comme sept puissance 5 qui finit comme sept puissance 1.
Sept puissance 10 finit comme sept puissance 6 qui finit comme sept puissance 2.
Sept puissance 11 finit comme sept puissance 7 qui finit comme sept puissance 3.
Sept puissance 12 finit comme sept puissance 8 qui finit comme sept puissance 4.
Il y a comme une répétition.
Faisons un « dessin » ou un schéma circulaire.
![](https://ifep.top/wp-content/uploads/PUISSANCE_DE_SEPT_UNITE.jpg)
Comment est-ce possible ?
![](https://ifep.top/wp-content/uploads/PUISSANCE_DE_SEPT_UNITE_EXPLICATION.jpg)
Ou avec de la couleur…
![](https://ifep.top/wp-content/uploads/PUISSANCE_DE_SEPT_UNITE_EXPLICATION_00.jpg)
Si un nombre finit par 7, et que je le multiplie par 7,
comme 7 x 7 = 49, cela fera un nombre qui finit par 9.
Si un nombre finit par 9, et que je le multiplie par 7,
comme 9 x 7 = 63, cela fera un nombre qui finit par 3.
Si un nombre finit par 3, et que je le multiplie par 7,
comme 3 x 7 = 21, cela fera un nombre qui finit par 1.
Si un nombre finit par 1, et que je le multiplie par 7…
ah, mais je l’ai déjà fait ! Nous retombons sur la première étape.
7 → 9 → 3 → 1 → 7 et ça recommence.
Faisons un tableau pour voir autrement comment ça marche.
sept puissance | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
finit par | 7 | 9 | 3 | 1 | 7 | 9 | 3 | 1 |
Coupons le tableau en deux.
sept puissance | 1 | 2 | 3 | 4 | .. | .. | .. | .. |
finit par | 7 | 9 | 3 | 1 |
sept puissance | .. | .. | .. | .. | 5 | 6 | 7 | 8 |
finit par | .. | .. | .. | .. | 7 | 9 | 3 | 1 |
Refaisons un tableau avec ces parties de tableau.
sept puissance |
1 |
2 |
3 |
4 |
sept puissance |
5 |
6 |
7 |
8 |
finit par |
7 |
9 |
3 |
1 |
Ajoutons une ligne au tableau.
sept puissance |
1 |
2 |
3 |
4 |
sept puissance |
5 |
6 |
7 |
8 |
sept puissance |
9 |
10 |
11 |
12 |
finit par |
7 |
9 |
3 |
1 |
Encore une ligne.
sept puissance |
1 |
2 |
3 |
4 |
sept puissance |
5 |
6 |
7 |
8 |
sept puissance |
9 |
10 |
11 |
12 |
sept puissance |
13 |
14 |
15 |
16 |
finit par |
7 |
9 |
3 |
1 |
Devinette : par quoi finit sept puissance 20 ?
Poursuivons le tableau.
sept puissance |
1 |
2 |
3 |
4 |
sept puissance |
5 |
6 |
7 |
8 |
sept puissance |
9 |
10 |
11 |
12 |
sept puissance |
13 |
14 |
15 |
16 |
sept puissance |
17 |
18 |
19 |
20 |
finit par |
7 |
9 |
3 |
1 |
Sept puissance 20 se termine par 1 (comme sept puissance 4, etc.).
Devinette : par quoi finit sept puissance 35 ?
Eh, on ne va pas écrire toutes lignes. Dans la colonne des 4, on aurait :
4 |
8 |
12 |
16 |
20 |
24 |
28 |
32 |
36 |
1 |
Nous aurons donc le tableau suivant.
sept puissance |
1 |
2 |
3 |
4 |
sept puissance |
… |
… |
… |
… |
sept puissance |
33 |
34 |
35 |
36 |
finit par |
7 |
9 |
3 |
1 |
Comme sept puissance 36 finit par 1, sept puissance 35 finit par 3.
Comment nommer la série 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36 ?
Ce sont les multiples de 4 ! Donc, sept puissance (n’importe quel multiple de 4) finit par 1.
Devinette : par quoi finit sept puissance 2016 ?
2016 est un multiple de 4.
![](https://ifep.top/wp-content/uploads/MATHS_Puissance_html_m560beca4.gif)
Donc sept puissance 2016 finit par 1.
Devinette : par quoi finit sept puissance 2017 ?
Puisque sept puissance 2016 finit par 1, sept puissance 2017 finit par 7.
© Frédéric Rava-Reny, 2023
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Étiquettes :
maths, niveau schéma, puissance, techniques de schématisation
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