Par quoi finit sept puissance six ?

Par quoi finit sept puissance six ?

(une version pdf mise en page est disponible là : Par_quoi_finit_sept_puissance_six.pdf)

Calculons pour voir.

Sept puissance 1

Sept puissance 1 finit par 7.

Sept puissance 2

Sept puissance 2 finit par 9.

Sept puissance 3

Sept puissance 3 finit par 3.

Sept puissance 4

Sept puissance 4 finit par 1.

Sept puissance 5

Sept puissance 5 finit par 7.
Sept puissance 5 finit comme sept puissance 1 qui finit par 7.

Sept puissance 6

Sept puissance 6 finit par 9.
Sept puissance 6 finit comme sept puissance 2 qui finit par 9.

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Devinons par quoi se termine sept puissance 7.

Sept puissance 5 finit comme sept puissance 1.
Sept puissance 6 finit comme sept puissance 2.
Sept puissance 7 finit comme sept puissance … ? 3 ! Sept puissance 3 finit par 3.

Vérifions par le calcul.

Sept puissance 7

Sept puissance 7 finit par 3.
Sept puissance 7 finit comme sept puissance 3 qui finit par 3.

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Devinons par quoi se termine sept puissance 8.

Sept puissance 5 finit comme sept puissance 1.
Sept puissance 6 finit comme sept puissance 2.
Sept puissance 7 finit comme sept puissance 3.
Sept puissance 8 finit comme sept puissance … ? 4 ! Sept puissance 4 finit par 1.

Vérifions par le calcul.

Sept puissance 8 finit par 1.
Sept puissance 8 finit comme sept puissance 4 qui finit par 1.

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Faisons un point de ce que nous savons.

Sept puissance 5 finit comme sept puissance 1.
Sept puissance 6 finit comme sept puissance 2.
Sept puissance 7 finit comme sept puissance 3.
Sept puissance 8 finit comme sept puissance 4.

Si nous poursuivions, nous trouverions la chose suivante.

Sept puissance 9 finit comme sept puissance 5 qui finit comme sept puissance 1.
Sept puissance 10 finit comme sept puissance 6 qui finit comme sept puissance 2.
Sept puissance 11 finit comme sept puissance 7 qui finit comme sept puissance 3.
Sept puissance 12 finit comme sept puissance 8 qui finit comme sept puissance 4.

Il y a comme une répétition.

Faisons un « dessin » ou un schéma circulaire.

Comment est-ce possible ?

Ou avec de la couleur…

 Si un nombre finit par 7, et que je le multiplie par 7,
comme 7 x 7 = 49, cela fera un nombre qui finit par 9.

Si un nombre finit par 9, et que je le multiplie par 7,
comme 9 x 7 = 63, cela fera un nombre qui finit par 3.

Si un nombre finit par 3, et que je le multiplie par 7,
comme 3 x 7 = 21, cela fera un nombre qui finit par 1.

Si un nombre finit par 1, et que je le multiplie par 7…
ah, mais je l’ai déjà fait ! Nous retombons sur la première étape.

7 → 9 → 3 → 1 → 7 et ça recommence.

Faisons un tableau pour voir autrement comment ça marche.

sept puissance	1	2	3	4	5	6	7	8
finit par	7	9	3	1	7	9	3	1

Coupons le tableau en deux.

sept puissance	1	2	3	4	..	..	..	..
finit par	7	9	3	1

sept puissance	..	..	..	..	5	6	7	8
finit par	..	..	..	..	7	9	3	1

Refaisons un tableau avec ces parties de tableau.

sept puissance	1	2	3	4
sept puissance	5	6	7	8
finit par	7	9	3	1

Ajoutons une ligne au tableau.

sept puissance	1	2	3	4
sept puissance	5	6	7	8
sept puissance	9	10	11	12
finit par	7	9	3	1

Encore une ligne.

sept puissance	1	2	3	4
sept puissance	5	6	7	8
sept puissance	9	10	11	12
sept puissance	13	14	15	16
finit par	7	9	3	1

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Devinette : par quoi finit sept puissance 20 ?

Poursuivons le tableau.

sept puissance	1	2	3	4
sept puissance	5	6	7	8
sept puissance	9	10	11	12
sept puissance	13	14	15	16
sept puissance	17	18	19	20
finit par	7	9	3	1

Sept puissance 20 se termine par 1 (comme sept puissance 4, etc.).

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Devinette : par quoi finit sept puissance 35 ?

Eh, on ne va pas écrire toutes lignes. Dans la colonne des 4, on aurait :

4
8
12
16
20
24
28
32
36
1

Nous aurons donc le tableau suivant.

sept puissance	1	2	3	4
sept puissance	…	…	…	…
sept puissance	33	34	35	36
finit par	7	9	3	1

Comme sept puissance 36 finit par 1, sept puissance 35 finit par 3.

Comment nommer la série 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36 ?
Ce sont les multiples de 4 ! Donc, sept puissance (n’importe quel multiple de 4) finit par 1.

Devinette : par quoi finit sept puissance 2016 ?

2016 est un multiple de 4.

Donc sept puissance 2016 finit par 1.

Devinette : par quoi finit sept puissance 2017 ?

Puisque sept puissance 2016 finit par 1, sept puissance 2017 finit par 7.

© Frédéric Rava-Reny, 2023