Merci Renée de votre précieux commentaire.
Au risque de vous choquer, vous avez raison ET moi aussi. Il peut sembler choquant que deux personnes soutenant des points de vues contradictoires aient raison. Cela nous choque parce que nous pensons habituellement avec la logique aristotélicienne du tiers-exclu : c’est ceci ou cela mais pas ceci ET cela.
Vous présentez le théorème comme établissant une relation, je le présente comme effectuant une transformation. C’est un point de vue temporel et un point de vue spatial (ou le contraire, peu importe ici).
Nous pouvons comprendre les choses dans l’espace (nous voyons alors un objet), ou dans le temps (nous voyons alors un procès). Un théorème, même s’il est un procès par rapport aux objets mathématiques, peut être considéré spatialement ou temporellement.
Soit vous considérez que les éléments auxquels il a trait sont préexistants (coexistence, synchronie, accord donc espace), et dans ce cas le théorème établit une relation entre ces éléments toujours là sans lui.
Soit vous considérez que les éléments auxquels il a trait ne sont pas tous préexistants, certains sont là au début et les autres seulement à la fin (non coexistence, diachronie, mélodie donc temps), et dans ce cas le théorème transforme un élément en un autre.
Nous pourrions avoir la même interrogation sur une fonction : établit-elle une relation entre x et y ou transforme-t-elle x en y ?…
Ce sont deux évocations différentes de la même chose et qui ne dénature pas la chose. Nous la considérons seulement sous son versant spatial ou temporel.
Mais bon, dans l’histoire des sciences, et des mathématiques en particulier, Newton et Leibniz se sont fâchés sur ce point là comme le rappelle Antoine de La Garanderie. Si deux grands génies des maths se sont querellés à ce sujet, c’est que la question ne doit pas être si facile.
Si nous recherchons encore plus en profondeur, nous trouverons que le temps (mental) complémentaire de l’espace (mental) s’offre aussi avec une bipolarité : il peut être en conscience vécu horizontalement comme une transformation ou verticalement comme une comparaison (établissement d’une relation entre deux espaces concomitants…).
Je maintiens donc la présentation d’un théorème comme une transformation, et par expérience, je sais que cela est très utile d’être montré sous cet angle pour de nombreux élèves.
Quant à la question des surfaces, il en est surtout question dans la démonstration du théorème (quelle que ce soit ses variantes). Les élèves n’utilisent presque jamais le théorème de Pythagore pour calculer des surfaces, mais presque toujours pour calculer une des trois longueurs du triangle, connaissant les deux autres (et les longueurs sont des nombres).
Je ne vous rejoins donc pas sur ce point.
Le plus important en tout cas est de saisir qu’un théorème est du temps, peu importe in fine si vous le considérez comme une transformation ou une mise en relation. Et que c’est un temps avec deux espaces. Et pour le théorème de Pythagore, l’un au moins de ces espaces est un triangle rectangle ; l’autre pour vous des surfaces et pour moi des longueurs.
Frédéric
(j’ai mis le commentaire en article car cela me semble plus lisible)